Fórmula General en el Dominio Máximo de Funciones Reales

Fórmula General en el Dominio Máximo de Funciones Reales

           Introducción           

           El dominio máximo de funciones es un método que se utiliza para conocer cuáles son los posibles valores de  x. Es decir, si tenemos cierta función , decimos que su dominio máximo es todos los valores de x que no indefinen a . La cantidad de tipos funciones que existen son demasiadas y cada una puede tener diferentes formas para determinar su dominio máximo, sin embargo, en este proyecto nos vamos a interesar en un subconjunto específico. Es por esto que a continuación se explicarán las características que deben de cumplir las funciones las cuales se desean estudiar.

            La primera característica que debe cumplir nuestra función es que cuente con un denominador, es decir, que la función tenga forma:

La segunda característica es que este denominador sea una expresión polinómica de grado 2; que el denominador cumpla la forma y la función con la forma:

Ya que se establecieron las características que debe de cumplir la función, se presenta a continuación el ejercicio a resolver:

Determine el dominio máximo de la siguiente función:

            Desarrollo:

Una vez introducido el tipo de función a estudiar y el ejercicio a resolver, se debe de aclarar que un polinomio de grado dos es una expresión de la forma  con . Un polinomio de grado 2, tiene diferentes formas de resolverse y en el dominio máximo de funciones es necesario saber resolverlas ya que conocer los valores de x que vuelve 0 a la expresión nos define el propio dominio máximo de la función establecida, ya que se sabe que si el denominador de una fracción es 0, indefine la función, que es justamente lo que estamos buscando.

            Como se dijo anteriormente, existen diferentes métodos para conocer las soluciones de polinomios de grado 2, entre estos se pueden resaltar el trinomio cuadrado perfecto o binomio de newton, el método de inspección o tanteo, teorema de los ceros racionales o incluso división sintética o método de Ruffini. Sin embargo, todos estos métodos tienen ciertas condiciones específicas y no dan las soluciones de todos los polinomios. Por suerte existe una fórmula que nos describe como encontrar las soluciones de cualquier tipo de polinomio o si simplemente no tiene soluciones reales. Esta fórmula se conoce como Fórmula General y fue descrita por primera vez en el año 1150 en el libro “Siddhanta Siroman” escrito por el matemático hindú Bhaskara. La fórmula se establece de la siguiente forma:

            Con    y en muchas ocasiones se establece que (discriminante), que tiene muchas propiedades, pero no se abarcarán en este estudio.

Ya que está explicado el método podemos resolver el ejercicio anteriormente propuesto. Primeramente, podemos notar que el denominador no puede ser igual a 0 por lo que podemos buscar sus soluciones y es aquí en donde entra la fórmula general.

Por fórmula general sabemos que:

Como  tiene 2 soluciones reales, podemos descartar ambas. Esto significa que el dominio máximo de la función  es:

Conclusión: 

En conclusión, el dominio máximo de una función es importante conocerlo, ya que nos dice que valores de la variable no son posibles ya que indefinen la función. Además, la fórmula general cumple una función importantísima a la hora de conocer los ceros de polinomios cuadráticos y en este caso con dominios máximos, conocer las restricciones. Pero, para concluir, ¿cómo estamos seguros de que la fórmula general funciona? Bien, a continuación, se adjunta la demostración de la fórmula general.

Si tenemos que  con ,

QED.

 

Referencias:

Russell, B. (s. f.). Dominio máximo de una función - Fundamentos de Matemática II. Recuperado de https://sites.google.com/site/algebraicas2016/1-concepto-y-caracteristicas-de-una-funcion/dominio-maximo-de-una-funcion

Cipriano, A., & Zaragoza, S. (2011). Resúmenes de matemáticas II con notas históricas [EBook] (1.a ed., Vol. 2). Recuperado de https://books.google.co.cr/books?id=WJVHV1nE6b4C&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false